La guerre des nombres premiers. Maths, Éco, Cripto : ils sont sur tous les fronts

Même si le terme « nombre premier » ne vous dit rien, n’hésitez pas à vous lancer dans cet ouvrage qui décrit la grande aventure de ces nombres qui fascinent de grands mathématiciens depuis 24 siècles et qui aujourd’hui sont même devenus objet d’un commerce. Laissez-vous guider par Euclide le célèbre mathématicien qui, au 3^e siècle avant notre ère donne la définition d’un nombre premier : « un entier naturel est premier lorsqu’il possède exactement deux diviseurs distincts. » Euclide est l’auteur des Éléments, l’acte de naissance des mathématiques, « le plus grand manuel mathématique de tous les temps ». Il montre que l’ensemble des nombres premiers est infini. Pour information, le plus grand nombre premier connu s’écrit avec 24 862 048 chiffres ! Cette infinitude va hanter l’ensemble de ce livre. Dans cette histoire vous allez suivre les découvertes des mathématiciens jusqu’à aujourd’hui dont les plus grands font les titres des chapitres : Euclide et Ératosthène pour l’antiquité, Mersenne et Fermat au XVI^e – XVII^e siècle, Euler au XVIII^e siècle, Gauss, XVIII^e – XIX^e siècle, suivis des Dirichlet et Tchebychev, Riemann, Hadamard et La Vallée Poussin, Hardy, Littlewood et Ramanujan, Erdös et Selberg, Lucas et Gram, XIX^e – XX^e siècle, Ulam et Turing, Rivest, Adleman et Shamir, XX^e siècle. Une brève histoire de la vie de ces grands hommes, souvent étonnante, et les nombreuses anecdotes, les génies précoces, nous donne un temps de détente pour suivre les théorèmes, les hypothèses, les postulats, les conjectures… Celle de Fermat, énoncée en 1670, a été démontrée en 1994 !
Les grandes questions qui se posent dans l’ensemble du livre sont : y a-t-il un ordre caché dans les nombres premiers, comment déterminer si un nombre est premier, comment factoriser les grands nombres, comment approcher « au mieux » un nombre premier ? Par exemple Mersenne prétend que 2⁶⁷ – 1 est premier, mais en 1903 Frank Nelson Cole découvre sa décomposition sans calculatrice (tous ses dimanches pendant 3 ans).
Les super stars qui émergent du livre sont Euler, Gauss, Ramanujan et hors-concours Bernhard Riemann avec sa fonction Zêta et son omniprésente conjecture de 1859, l’équation de Riemann, qui reste au palmarès des problèmes non résolus du siècle.
Dans le chapitre 14, « Nombres premiers à vendre », il s’agit d’algorithmes de cryptographie, des diverses méthodes pour casser le code et des logiciels de factorisation. Plusieurs systèmes de cryptographie sont exposés, le plus utilisé actuellement, car le plus simple, est le système RSA. La clé du message consiste à factoriser un nombre très grand, celui du groupement interbancaire comporte 232 chiffres. Sa sécurité repose sur l’hypothèse qu’aucun ordinateur ne peut trouver sa factorisation… pour le moment. La cryptographie est omniprésente dans les échanges informatiques.
À intervalle régulier, un certain colonel K, agent du KGB intervient pour raconter où en sont les mathématiques russes ou plutôt soviétiques, Son but est de capter tout le savoir des mathématiciens pour le mettre au service du KGB. Il y réussit et son dernier message, un peu inquiétant, à l’adresse des autres pays est « Êtes-vous sûrs d’en connaître autant que nous ? »
Il est difficile de résumer un tel livre mais on peut être presque sûr qu’il intéressera un large public et en passionnera beaucoup. De grandes connaissances mathématiques ne sont pas nécessaires, il n’est pas interdit de sauter quelques développements un peu pointus. Notons pour finir le goût de l’auteur pour l’humour et aussi ses deux pages imprévues, mais bienvenues, sur l’écologie. Bibliographie et index des noms propres.

Yan Pradeau, Flammarion